建模基础

引言

本页面是控制系统建模专题的数学基础部分，涵盖拉普拉斯变换、传递函数推导、方框图代数、信号流图与梅森公式、非线性系统的线性化方法等核心数学工具。这些工具将物理系统的微分方程转化为代数运算，是控制系统分析与设计的基石。

拉普拉斯变换

定义与性质

拉普拉斯变换（Laplace Transform）将时域中的微分方程转化为复频域中的代数方程，极大简化了线性时不变（Linear Time-Invariant, LTI）系统的分析。

对于因果信号 $f(t)$（$t \geq 0$），其单边拉普拉斯变换定义为：

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$$

其中 $s = \sigma + j\omega$ 是复频率变量。

常用变换对

时域信号 $f(t)$	拉普拉斯变换 $F(s)$
单位冲激 $\delta(t)$	$1$
单位阶跃 $u(t)$	$1/s$
$t \cdot u(t)$	$1/s^2$
$e^{-at} u(t)$	$1/(s+a)$
$\sin(\omega t) \cdot u(t)$	$\omega/(s^2+\omega^2)$
$\cos(\omega t) \cdot u(t)$	$s/(s^2+\omega^2)$
$t^n e^{-at} u(t)$	$n!/(s+a)^{n+1}$

关键性质

拉普拉斯变换最重要的性质是微分性质——将微分运算转化为乘法：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = sF(s) - f(0^-)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^2f}{dt^2}\right\} = s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-)$$

当初始条件为零时，微分简化为乘以 $s$，积分简化为除以 $s$。

传递函数

从微分方程到传递函数

传递函数（Transfer Function）定义为零初始条件下，输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。

以弹簧-质量-阻尼系统为例：

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$$

对两边取拉普拉斯变换（零初始条件）：

$$ms^2X(s) + csX(s) + kX(s) = F(s)$$

传递函数为：

$$G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2 + cs + k}$$

直流电机传递函数推导

直流电机的电气方程和机械方程（零初始条件下的拉普拉斯域）：

$$(Ls + R)I(s) = V(s) - K_e \Omega(s)$$

$$(Js + b)\Omega(s) = K_t I(s)$$

消去电流 $I(s)$，得到从输入电压到输出转速的传递函数：

$$G(s) = \frac{\Omega(s)}{V(s)} = \frac{K_t}{(Ls + R)(Js + b) + K_t K_e}$$

当电枢电感 $L$ 很小可忽略时，简化为一阶系统：

$$G(s) \approx \frac{K_t / (Rb + K_t K_e)}{(RJ/(Rb + K_t K_e))s + 1} = \frac{K_m}{\tau_m s + 1}$$

其中 $K_m$ 为电机增益常数，$\tau_m$ 为电机时间常数。

Python 中的传递函数操作

import control
import numpy as np

# 直流电机参数
R = 1.0    # 电枢电阻 (Ω)
L = 0.5    # 电枢电感 (H)
J = 0.01   # 转动惯量 (kg·m²)
b = 0.1    # 粘滞摩擦系数 (N·m·s/rad)
Kt = 0.01  # 力矩常数 (N·m/A)
Ke = 0.01  # 反电动势常数 (V·s/rad)

# 构建传递函数
num = [Kt]
den = [L*J, R*J + L*b, R*b + Kt*Ke]
G = control.tf(num, den)
print(f"传递函数: {G}")

# 极点和零点
poles = control.poles(G)
zeros = control.zeros(G)
print(f"极点: {poles}")
print(f"零点: {zeros}")

# 阶跃响应
t, y = control.step_response(G)

方框图代数

基本连接规则

方框图（Block Diagram）是控制系统中最常用的图形化表示方法。三种基本连接的等效规则：

串联（级联）：

$$G_{eq}(s) = G_1(s) \cdot G_2(s)$$

并联：

$$G_{eq}(s) = G_1(s) + G_2(s)$$

反馈连接（负反馈）：

$$G_{eq}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$$

其中 $G(s)$ 为前向通道传递函数，$H(s)$ 为反馈通道传递函数。当 $H(s) = 1$ 时为单位反馈系统。

方框图化简技巧

操作	规则
求和点前移过方框 $G$	在移动支路中插入 $1/G$
求和点后移过方框 $G$	在移动支路中插入 $G$
引出点前移过方框 $G$	在移动支路中插入 $G$
引出点后移过方框 $G$	在移动支路中插入 $1/G$
交换相邻求和点	直接交换（加法交换律）

信号流图与梅森公式

信号流图

信号流图（Signal Flow Graph, SFG）是方框图的替代表示方法，由节点和有向分支组成。每个分支上标注增益（传递函数），信号沿分支方向单向流动。

梅森增益公式

梅森公式（Mason's Gain Formula）可直接从信号流图计算系统传递函数，无需逐步化简：

$$G(s) = \frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{N} P_k \Delta_k$$

其中：

• $P_k$：第 $k$ 条前向通路的增益
• $\Delta$：图的行列式，$\Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_i L_j - \sum L_i L_j L_k + \cdots$
• $L_i$：第 $i$ 个独立回路的增益
• $L_i L_j$：第 $i$ 和第 $j$ 个互不接触回路的增益之积
• $\Delta_k$：去掉与第 $k$ 条前向通路接触的所有回路后的行列式

应用示例

考虑一个典型的 PID 控制系统，信号流图有：

• 前向通路：$P_1 = G_c(s) \cdot G_p(s)$
• 回路：$L_1 = -G_c(s) \cdot G_p(s) \cdot H(s)$
• 行列式：$\Delta = 1 - L_1 = 1 + G_c(s) G_p(s) H(s)$
• $\Delta_1 = 1$（前向通路与唯一回路接触）

传递函数：

$$G(s) = \frac{P_1 \Delta_1}{\Delta} = \frac{G_c(s) G_p(s)}{1 + G_c(s) G_p(s) H(s)}$$

与反馈公式一致。梅森公式的优势在于处理复杂多回路系统时无需化简方框图。

非线性系统线性化

为什么需要线性化

大多数机器人系统本质上是非线性的（关节动力学、空气动力学、接触力等），但线性控制理论提供了成熟的分析和设计工具。线性化（Linearization）在平衡点附近用线性模型近似非线性系统，使得线性控制方法可以应用。

雅可比线性化

对于非线性状态方程：

$$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$$

在平衡点 $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$ 处（满足 $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0) = \mathbf{0}$），通过泰勒展开取一阶项得到线性化模型：

$$\delta\dot{\mathbf{x}} = A \, \delta\mathbf{x} + B \, \delta\mathbf{u}$$

其中偏差变量 $\delta\mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0$，$\delta\mathbf{u} = \mathbf{u} - \mathbf{u}_0$，系统矩阵和输入矩阵为雅可比矩阵：

$$A = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\bigg|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)}, \quad B = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}}\bigg|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)}$$

倒立摆线性化示例

倒立摆的非线性运动方程（忽略摩擦）：

$$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = F$$

$$l\ddot{\theta} + \ddot{x}\cos\theta - g\sin\theta = 0$$

选择状态向量 $\mathbf{x} = [x, \dot{x}, \theta, \dot{\theta}]^T$，在上平衡点 $\theta_0 = 0$ 处线性化（$\sin\theta \approx \theta$，$\cos\theta \approx 1$，$\dot{\theta}^2 \approx 0$）：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -mg/M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & (M+m)g/(Ml) & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/M \\ 0 \\ -1/(Ml) \end{bmatrix}$$

import numpy as np
import control

# 倒立摆参数
M = 0.5   # 小车质量 (kg)
m = 0.2   # 摆杆质量 (kg)
l = 0.3   # 摆杆半长 (m)
g = 9.81  # 重力加速度 (m/s²)

# 上平衡点处的线性化状态空间矩阵
A = np.array([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, -m*g/M, 0],
    [0, 0, 0, 1],
    [0, 0, (M+m)*g/(M*l), 0]
])

B = np.array([[0], [1/M], [0], [-1/(M*l)]])
C = np.array([[1, 0, 0, 0],
              [0, 0, 1, 0]])
D = np.zeros((2, 1))

sys = control.ss(A, B, C, D)
print(f"极点: {np.linalg.eigvals(A)}")

# 检查能控性
Wc = control.ctrb(A, B)
rank = np.linalg.matrix_rank(Wc)
print(f"能控性矩阵秩: {rank} (需要 {A.shape[0]} 才完全能控)")

线性化的局限性

• 仅在平衡点附近有效，偏离过大时精度迅速下降
• 不能捕获极限环、混沌等本质非线性现象
• 对于大范围运动（如机械臂摆动）需要增益调度（Gain Scheduling）或非线性控制方法

标准系统传递函数速查

系统	传递函数	阶数
弹簧-质量-阻尼	$\frac{1}{ms^2 + cs + k}$	2
直流电机（电压→转速）	$\frac{K_t}{(Ls+R)(Js+b)+K_tK_e}$	2
直流电机（简化）	$\frac{K_m}{\tau_m s + 1}$	1
RC 低通滤波器	$\frac{1}{RCs + 1}$	1
二阶振荡系统	$\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$	2
积分环节	$\frac{K}{s}$	—
纯延迟	$e^{-\tau s}$	—

参考资料

1. Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall.
2. Nise, N. S. (2019). Control Systems Engineering (8th ed.). Wiley.
3. Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. (2019). Feedback Control of Dynamic Systems (8th ed.). Pearson.
4. Mason, S. J. (1956). Feedback Theory — Further Properties of Signal Flow Graphs. Proceedings of the IRE, 44(7), 920–926.
5. python-control 库文档：https://python-control.readthedocs.io/