状态空间法

引言

状态空间法（State-Space Method）是现代控制理论的核心框架，通过引入状态变量（State Variables）来描述系统的内部行为。与传递函数方法仅关注输入输出关系不同，状态空间法能够揭示系统的全部内部特性，并自然地扩展到多输入多输出（MIMO）系统。状态空间法为控制器设计提供了系统化的工具，包括极点配置、LQR最优控制和状态观测器设计等。

状态空间模型在时域中，可以描述 SISO 和 MIMO 系统。

一些优点：

• 数值简单，易于计算机处理
• 传递函数只处理输入/输出行为，而状态空间可以评估系统的内部特征
• MIMO 和系统耦合

控制器设计：

• 全状态反馈（极点配置）
• 观测器/估计器设计：从可用测量值估计系统状态
• 动态输出反馈：将这两者结合起来，对稳定性和性能提供可证明的保证

总的来说，状态空间设计过程比经典控制设计更系统化。

连续时间线性时不变（Linear Time-Invariant, LTI）系统的状态空间模型为：

$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

其中：

• $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 为状态向量（State Vector），包含描述系统当前状态所需的最少变量。
• $u(t) \in \mathbb{R}^m$ 为输入向量（Input Vector）。
• $y(t) \in \mathbb{R}^p$ 为输出向量（Output Vector）。
• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为系统矩阵（System Matrix），决定了系统的自由响应特性。
• $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 为输入矩阵（Input Matrix），描述输入对状态的影响。
• $C \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 为输出矩阵（Output Matrix），描述状态到输出的映射。
• $D \in \mathbb{R}^{p \times m}$ 为直接传输矩阵（Feedthrough Matrix），在许多物理系统中为零矩阵。

能控性 (Controllability)

能控性是状态空间理论中的基本概念。一个系统是完全能控的（Completely Controllable），当且仅当对于任意初始状态 $x(0)$ 和任意目标状态 $x_f$，都存在有限时间内的控制输入 $u(t)$ 能够将系统从 $x(0)$ 转移到 $x_f$。

能控性矩阵 (Controllability Matrix)

对于线性时不变系统 $\dot{x} = Ax + Bu$，能控性可以通过能控性矩阵（Controllability Matrix）来判定：

$$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}$$

其中 $n$ 为系统的状态维数。

判定条件（秩条件）：系统完全能控的充要条件是能控性矩阵 $\mathcal{C}$ 的秩等于 $n$，即：

$$\text{rank}(\mathcal{C}) = n$$

如果 $\text{rank}(\mathcal{C}) < n$，则系统不完全能控，存在某些状态方向无法通过输入来影响。

在MATLAB中可以使用以下命令检查能控性：

Co = ctrb(A, B);        % 计算能控性矩阵
rank_Co = rank(Co);      % 计算秩
if rank_Co == size(A, 1)
    disp('系统完全能控');
else
    disp('系统不完全能控');
end

能控性的物理意义

能控性回答了一个根本性的问题：通过施加适当的输入，我们能否将系统的状态驱动到任意期望位置？如果系统不完全能控，则存在某些"不可达"的状态子空间，无论施加什么样的输入都无法到达。

在实际的机器人系统设计中，能控性分析用于验证：

• 执行器（电机、推进器等）的配置是否足以控制系统的所有自由度。
• 欠驱动系统（Underactuated System）中哪些状态是可控的，哪些不是。

能观性 (Observability)

能观性描述了从系统的输出测量值中推断内部状态的能力。一个系统是完全能观的（Completely Observable），当且仅当对于任意初始状态 $x(0)$，通过有限时间内的输出 $y(t)$ 和输入 $u(t)$ 的测量值，可以唯一确定 $x(0)$。

能观性矩阵 (Observability Matrix)

对于系统 $\dot{x} = Ax + Bu$，$y = Cx + Du$，能观性矩阵为：

$$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\\\ CA \\\\ CA^2 \\\\ \vdots \\\\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$$

判定条件：系统完全能观的充要条件是能观性矩阵的秩等于 $n$：

$$\text{rank}(\mathcal{O}) = n$$

在MATLAB中：

Ob = obsv(A, C);         % 计算能观性矩阵
rank_Ob = rank(Ob);       % 计算秩
if rank_Ob == size(A, 1)
    disp('系统完全能观');
else
    disp('系统不完全能观');
end

能观性的物理意义

能观性回答了另一个根本性问题：仅通过传感器测量的输出信号，我们能否推断出系统所有内部状态的值？如果系统不完全能观，则存在某些内部状态对输出没有影响，无法通过输出测量来估计。

在机器人系统中，能观性分析帮助确定：

• 传感器的数量和位置是否足以重建系统的完整状态。
• 哪些状态需要通过状态观测器来估计。

能控性与能观性的对偶关系

能控性和能观性之间存在优美的对偶关系（Duality）：系统 $(A, B, C)$ 的能控性等价于对偶系统 $(A^T, C^T, B^T)$ 的能观性，反之亦然。这一对偶性使得能控性和能观性的分析方法和结论可以相互转换。

Kalman分解

如果一个系统既不是完全能控的也不是完全能观的，可以使用Kalman分解（Kalman Decomposition）将其分解为四个子空间：

1. 能控且能观的子空间：构成系统的传递函数部分，可以完全通过输入输出来控制和观测。
2. 能控但不能观的子空间：可以通过输入影响，但无法通过输出观测到。
3. 不能控但能观的子空间：对输出有影响，但无法通过输入改变。
4. 既不能控也不能观的子空间：对输入和输出均无影响。

Kalman分解通过坐标变换将系统的状态空间分解为这四个正交子空间，帮助设计者理解系统的内在结构。

状态观测器 (State Observer)

在实际系统中，并非所有状态变量都可以直接测量。状态观测器（State Observer）通过利用系统模型和可测输出信号来估计不可测的状态变量。

Luenberger观测器

Luenberger观测器是最基本的状态观测器，其结构为：

$$\dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + L(y(t) - C\hat{x}(t))$$

其中 $\hat{x}(t)$ 为状态估计值，$L$ 为观测器增益矩阵。

定义估计误差 $e(t) = x(t) - \hat{x}(t)$，则误差的动态方程为：

$$\dot{e}(t) = (A - LC)e(t)$$

通过选择适当的观测器增益 $L$，使 $(A - LC)$ 的所有特征值具有负实部，即可保证估计误差渐近收敛到零。观测器增益 $L$ 的设计本质上是一个极点配置问题。

观测器的收敛速度由 $(A - LC)$ 的特征值决定。一般原则是观测器的特征值应比闭环控制器的特征值快2到10倍，以确保状态估计能够快速收敛。

在MATLAB中设计Luenberger观测器：

% 期望的观测器极点（比控制器极点快3-5倍）
observer_poles = [-10, -12, -14, -16];
L = place(A', C', observer_poles)';  % 利用对偶性计算观测器增益

分离原理 (Separation Principle)

分离原理（Separation Principle）是状态空间控制设计中最重要的理论结果之一。它指出：

对于线性时不变系统，状态反馈控制器和状态观测器可以独立设计，组合后的闭环系统仍然是稳定的。

具体而言：

• 首先，假设所有状态可测，设计状态反馈增益 $K$，使闭环系统 $\dot{x} = (A-BK)x$ 具有期望的极点。
• 然后，独立设计观测器增益 $L$，使观测器误差动态 $\dot{e} = (A-LC)e$ 快速收敛。
• 最后，将观测器估计的状态代替真实状态输入到控制器中：$u = -K\hat{x}$。

组合后的闭环系统特征值恰好是 $(A-BK)$ 的特征值和 $(A-LC)$ 的特征值的并集。这意味着控制器设计和观测器设计不会相互影响，可以分别独立完成，大大简化了设计过程。

分离原理仅对线性系统严格成立。对于非线性系统，控制器和观测器的联合设计通常需要额外的稳定性分析。

控制增益计算

对于 SISO 系统，传递函数可以表示为：$H(s) = [C(sI-A)^{-1}B + D]$ 和 $H(z) = [C(zI-A)^{-1}B + D]$。

新输入可以计算为： $$u(t) = r(t) - KX = r(t) - \begin{pmatrix}k_1 & k_2 & k_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \end{pmatrix}$$

这导致了闭环系统的新状态方程： $$\frac{dx}{dt} = [A - BK]x - Br(t)$$

LQR 控制器的 MATLAB 代码

A = sys_d.a;
B = sys_d.b;
C = sys_d.c;
D = sys_d.d;
Q = C'*C            % state-cost matrix
R = 1;              % control-cost
[K] = dlqr(A,B,Q,R) % control gain matrix

Ac = [(A-B*K)];
Bc = [B];
Cc = [C];
Dc = [D];

states = {'x' 'x_dot' 'phi' 'phi_dot'};
inputs = {'r'};
outputs = {'x'; 'phi'};

sys_cl = ss(Ac,Bc,Cc,Dc,Ts,'statename',states,'inputname',inputs,'outputname',outputs);

t = 0:0.01:5;
r =0.2*ones(size(t));
[y,t,x]=lsim(sys_cl,r,t);
[AX,H1,H2] = plotyy(t,y(:,1),t,y(:,2),'plot');
set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','cart position (m)')
set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','pendulum angle (radians)')
title('Step Response with Digital LQR Control')

参考资料

1. K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th Edition, Prentice Hall, 2010.
2. G. F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 8th Edition, Pearson, 2019.
3. B. Friedland, Control System Design: An Introduction to State-Space Methods, Dover Publications, 2005.
4. R. E. Kalman, "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems," Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering, vol. 82, pp. 35-45, 1960.